pq-Formel Rechner mit Rechenweg
Quadratische Gleichung eingeben und mit der pq-Formel lösen – mit Normalform, Einsetzen, Diskriminante und Lösungsmenge.
Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \left\{-1;\ 5\right\}\)
Die Gleichung hat zwei Lösungen.
Rechenweg
- Deine Gleichung\[2\,x^{2} - 8\,x - 10 = 0\]
- Normalform herstellen
Für die pq-Formel muss vor $x^2$ eine 1 stehen. Deshalb wird die ganze Gleichung durch $a = 2$ geteilt.
\[x^{2} + \frac{-8}{2}\,x + \frac{-10}{2} = 0\]\[x^{2} - 4\,x - 5 = 0\] - $p$ und $q$ ablesen\[p = -4,\qquad q = -5\]
- In die pq-Formel einsetzen\[x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\]\[x_{1,2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - \left(-5\right)}\]
- Ausrechnen
Erst $-\frac{p}{2}$ und $\left(\frac{p}{2}\right)^2$ berechnen, dann den Wert unter der Wurzel zusammenfassen.
\[x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - \left(-5\right)}\]\[x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{9}\] - Wurzel ziehen
Der Wert unter der Wurzel ist positiv – es gibt zwei Lösungen.
\[D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q = 9 > 0\]\[\sqrt{9} = 3\] - Lösungen berechnen
Einmal mit $+$ und einmal mit $-$ vor der Wurzel rechnen.
\[x_1 = 2 + 3 = 5\]\[x_2 = 2 - 3 = -1\]
So funktioniert der Rechner
Gib eine quadratische Gleichung ein, zum Beispiel x^2+6x+8=0 oder 2x^2-4x=6. Fehlt das „= …“, wird „= 0“ angenommen. Der Rechner bringt die Gleichung in die Normalform $x^2+px+q=0$, liest $p$ und $q$ ab und setzt in die pq-Formel ein.
Steht vor $x^2$ eine andere Zahl als 1, teilt der Rechner zuerst die ganze Gleichung durch diese Zahl. Die Erklärung mit Beispielen findest Du unter pq-Formel.