Binomische Formeln einfach erklärt
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]
Die binomischen Formeln sind Abkürzungen zum Ausmultiplizieren von Klammern. Statt jedes Glied mit jedem zu multiplizieren, schreibst Du das Ergebnis direkt hin. Rückwärts helfen sie beim Faktorisieren – zum Beispiel beim Lösen von Gleichungen oder beim Kürzen von Brüchen.
Woher kommen die Formeln?
Ausmultiplizieren Schritt für Schritt: $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$. Bei der zweiten Formel wird aus $+ab$ jeweils $-ab$, bei der dritten heben sich die beiden gemischten Glieder gegenseitig auf.
Der häufigste Fehler
$(a+b)^2$ ist nicht $a^2+b^2$. Das gemischte Glied $2ab$ wird gern vergessen. Probe mit Zahlen: $(3+4)^2=49$, aber $3^2+4^2=25$.
Beispiele
- $(x+5)^2=x^2+10x+25$
- $(2y-3)^2=4y^2-12y+9$
- $(4a+1)(4a-1)=16a^2-1$
- Rückwärts: $x^2-6x+9=(x-3)^2$
Jede Formel einzeln: erste, zweite, dritte binomische Formel.
Weitere Rechner und Erklärungen
Binomische Formeln RechnerKlammer eingeben, z. B. (2x+3)^2 oder (a-b)(a+b) – der Rechner erkennt die…pq-Formel RechnerQuadratische Gleichung eingeben und mit der pq-Formel lösen – mit Normalform,…abc-Formel RechnerQuadratische Gleichung ax²+bx+c=0 mit der abc-Formel lösen – Rechenweg mit…Quadratische Gleichungen lösenBeliebige quadratische Gleichung eingeben: Der Rechner wählt den einfachsten…1. binomische FormelDie erste binomische Formel (a+b)² = a² + 2ab + b² mit Herleitung,…2. binomische FormelDie zweite binomische Formel (a−b)² = a² − 2ab + b²: Herleitung,…3. binomische FormelDie dritte binomische Formel (a+b)(a−b) = a² − b²: warum das gemischte Glied…pq-FormelDie pq-Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen: Normalform, p und q…