Quadratische Gleichungen lösen – alle Wege im Überblick

Eine quadratische Gleichung enthält $x^2$ als höchste Potenz: $ax^2+bx+c=0$ mit $a\neq 0$. Je nachdem, welche Glieder vorkommen, gibt es unterschiedlich schnelle Lösungswege.

1. Nur $x^2$ und eine Zahl: Wurzel ziehen

$x^2-16=0$ → $x^2=16$ → $x=\pm 4$.

2. Keine Zahl ohne $x$: Ausklammern

$x^2-5x=0$ → $x(x-5)=0$ → $x_1=0$, $x_2=5$. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.

3. Alle Glieder: pq- oder abc-Formel

Bei $x^2+px+q=0$ hilft die pq-Formel, allgemein die abc-Formel.

4. Quadratische Ergänzung

$x^2+6x+5=0$ → $x^2+6x+9=4$ → $(x+3)^2=4$ → $x+3=\pm 2$ → $x_1=-1$, $x_2=-5$. Das ist genau der Weg, aus dem die pq-Formel entsteht.

5. Satz von Vieta

Bei ganzzahligen Lösungen lassen sie sich oft raten: Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe $-p$ und Produkt $q$.

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