abc-Formel Rechner (Mitternachtsformel) mit Rechenweg

Quadratische Gleichung ax²+bx+c=0 mit der abc-Formel lösen – Rechenweg mit Diskriminante, exakten Lösungen und Näherungswerten.

Rechenweg

1. Deine Gleichung
   \[3\,x^{2} - 5\,x + 2 = 0\]
2. $a$, $b$ und $c$ ablesen
   \[a = 3,\qquad b = -5,\qquad c = 2\]
3. In die abc-Formel einsetzen
   \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
   \[x_{1,2} = \frac{-\left(-5\right) \pm \sqrt{\left(-5\right)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}\]
4. Ausrechnen

   Erst $-b$, $b^2$, $4ac$ und $2a$ berechnen, dann den Wert unter der Wurzel zusammenfassen.

   \[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6}\]
   \[x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{6}\]
5. Wurzel ziehen

   Der Wert unter der Wurzel ist positiv – es gibt zwei Lösungen.

   \[D = b^2 - 4ac = 1 > 0\]
   \[\sqrt{1} = 1\]
6. Lösungen berechnen

   Einmal mit $+$ und einmal mit $-$ vor der Wurzel rechnen.

   \[x_1 = \frac{5 + 1}{6} = 1\]
   \[x_2 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}\]

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