Quadratische Gleichungen lösen – Rechner mit Rechenweg
Beliebige quadratische Gleichung eingeben: Der Rechner wählt den einfachsten Weg (Wurzelziehen, Ausklammern, pq- oder abc-Formel).
Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \left\{-\frac{1}{2}\right\}\)
Näherungswerte: \(x\approx -0,5\)
Die Gleichung hat genau eine Lösung (doppelte Lösung).
Rechenweg
- Deine Gleichung\[4\,x^{2} + 4\,x + 1 = 0\]
- $a$, $b$ und $c$ ablesen\[a = 4,\qquad b = 4,\qquad c = 1\]
- In die abc-Formel einsetzen\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}\]
- Ausrechnen
Erst $-b$, $b^2$, $4ac$ und $2a$ berechnen, dann den Wert unter der Wurzel zusammenfassen.
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8}\]\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{8}\] - Diskriminante prüfen
Unter der Wurzel steht $0$. Plus und Minus führen zum selben Ergebnis – es gibt genau eine Lösung.
\[D = b^2 - 4ac = 0\] - Lösung\[x = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\]
Vor $x^2$ steht keine 1 – deshalb wird die abc-Formel (Mitternachtsformel) verwendet.
Welcher Lösungsweg?
Der Rechner nimmt den kürzesten Weg: Fehlt das $x$ ohne Quadrat (z. B. $x^2-9=0$), wird direkt die Wurzel gezogen. Fehlt die Zahl ohne $x$ (z. B. $x^2-4x=0$), wird $x$ ausgeklammert. Sonst rechnet er mit der pq-Formel (wenn vor $x^2$ eine 1 steht) oder mit der abc-Formel.
Eine Übersicht aller Wege steht unter Quadratische Gleichungen.